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Nota técnica

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Modelos SIRD: o que são e para que servem?

Diferentes modelagens podem ser utilizados para identificar mudanças na evolução de indicadores e o estado atual da epidemia. Os modelos comportamentais mas amplamente utilizados são os modelos tipo SIR (Susceptible, Infected, Recovered), apresentado originalmente por Kermack and McKendrick (1927), e suas variantes, incluindo o SIRD (Susceptible, Infected, Recovered, Deceased). Um interessante resumo introdutório está disponível em wikipedia. Essa classe de modelos junto aos modelos generalizados de crescimento têm sido aliados poderosos para avaliar a eficiência de medidas de mitigação não farmacológicas (distanciamento social, uso de máscara, etc) para o combate a epidemia (Vasconcelos, et al.; 2020a,b; Rede ModInterv , ModInterv ). Para o Recife usamos o modelo SIRD para descrever a propagação e a progressão clínica da COVID-19 por levar em consideração o monitoramento do número de casos registrados e o número de óbitos (Vasconcelos, et al.; 2020c).

No modelo SIR simples (sem nascimentos ou mortes e parâmetros constantes), indivíduos susceptíveis $(S)$ tornam-se infectados e passam para a classe infectada $(I)$ . Após algum tempo, os indivíduos infectados se recuperam e passam para a classe recuperada (ou imune) $(R)$ . Uma vez imunes, eles permanecem assim por toda a vida (ou seja, não deixam a classe recuperada). As equações que descrevem a dinâmica deste modelo epidemiológico em função do tempo $t$ são:

$$\frac{dS(t)}{dt} = -\frac{\beta S(t) I(t)}{N},$$

$$\frac{dI(t)}{dt} =\frac{\beta S(t) I(t)}{N}-(\gamma_1+\gamma_2)I(t),$$

$$\ \frac{dR(t)}{dt} =\gamma_1 I(t),$$

$$\frac{dD(t)}{dt} =\gamma_2 I(t), $$

em que $S(t)$ , $I(t)$, $R(t)$, e $D(t)$ são o número de indivíduos no momento $t$ nas classes de susceptíveis, infectados, recuperados, e falecidos respectivamente; enquanto $N$ é o número total de indivíduos na população, ou seja, $N=S(t)+I(t)+R(t)+D(t)$. Os valores iniciais são escolhidos para $S(0)=s_0$, $I(0)=i_0$, com $s_0+i_0=N$, e $R(0)=0=D(0)$. Os parâmetros $\gamma_1$ e $\gamma_2$ são as taxas às quais o indivíduo infectado se recupera ou morre, respectivamente. O parâmetro $\beta$ é a taxa de transmissão.

Consideramos então um modelo modificado do SIR chamado de SIRD onde nas equações de $\frac{dS(t)}{dt}$ e $\frac{dI(t)}{dt}$ o tamanho da popilação $N$ (No caso do Recife $N=1645727.$ Fonte: IBGE) é substituído por apenas uma fração da população nas classes $S$ e $I$, o que leva em conta o fato de que os recuperados (assumindo que se tornam imunes) e o falecidos não contribuem para a transmissão. Assim, encontramos $$\frac{dS}{dt} =-\frac{\beta S(t) I(t)}{I(t)+S(t)}$$ $$\frac{dI}{dt} =\frac{\beta S(t) I(t)}{I(t)+S(t)}-(\gamma_1+\gamma_2)I(t)$$ $$\frac{dR}{dt} =\gamma_1 I(t)$$ $$\frac{dD}{dt} =\gamma_2 I(t).$$

Suposições

* O modelo considera uma população homogênea, isto é, todos os indivíduos possuem mesma probabilidade de serem infectados e as taxas de contato de cada indivíduo são iguais. Esta consideração de homogeneidade é válida para grandes populações, no que tange a análise da modelagem.

* O período de tempo em que uma epidemia ocorre é muito menor que o tempo de existência da população, ou seja, o tamanho desta pode ser considerado constante no período, e os nascimentos e mortes não relacionadas à doença podem ser ignorados.

* A qualquer instante de tempo, cada indivíduo encontra-se em um determinado estado com relação a doença.

Adaptação para COVID-19: SIRD com taxa de transmissão dinâmico

O modelo SIRD com parâmetros constantes tem-se mostrado insuficiente para acomodar adequadamente a dinâmica da epidemia da COVID-19 principalmente quando a população é submetida a intervenção pela adoção de alguma medida de mitigação ou política pública para a contenção da epidemia. A solução mais simples para este problema é permitir que o parâmetro epidemiológico $eta$ mude no tempo (parâmetro dinâmico) de acordo a uma função de decaimento de tipo exponencial (Caccavo, 2020: Canto, et al., 2020; Vasconcelos, et al. 2020c). Desta forma, condideramos

$$\beta(t) =\begin{cases} \beta_0, t<\tau_0 \\ \beta_0\left(\beta_1 + (1-\beta_1)e^{-\frac{(t-\tau_0)}{\tau_1}} \right),\ t\ge \tau_0, \end{cases}\!$$,

em que $\tau_0$ é o tempo de início da intervenção e $\tau_1$ é a duração média das intervenções. Aqui $\beta_0$ é a taxa de transmissão inicial do patógeno e o produto $\beta_1$ representa a taxa de transmissão no final da epidemia. O time da Rede ModInterv , implementou computacionalmente algoritmos em python para essa classe de modelos.

Referências

Kermark, M. & Mckendrick, A., (1927). Contributions to the mathematical theory of epidemics. Part I. Proc. r. soc. a, 115(5), pp.700-721.

Vasconcelos G.L., Macêdo A.M.S., Ospina R., Almeida F.A.G., Duarte-Filho G.C., Brum A.A. & Souza I.C.L. (2020a). odelling fatality curves of COVID-19 and the effectiveness of intervention strategies. ,PeerJ, 8: e9421. DOI: https://doi.org/10.7717/peerj.9421

Vasconcelos, G. L., Macêdo, A. M., Duarte-Filho, G. C., Araújo, A. A., Ospina, R., & Almeida, F. A. (2020b). Complexity signatures in the COVID-19 epidemic: power law behaviour in the saturation regime of fatality curves. medRxiv. DOI: https://doi.org/10.1101/2020.07.12.20152140

Macêdo, A. M., Brum, A. A., Duarte-Filho, G. C., Almeida, F. A., Ospina, R., & Vasconcelos, G. L. (2020c). A comparative analysis between a SIRD compartmental model and the Richards growth model. medRxiv. DOI: https://doi.org/10.1101/2020.08.04.20168120)

Caccavo, D. (2020). Chinese and Italian COVID-19 outbreaks can be correctly described by a modified SIRD model . medRxiv. DOI: https://doi.org/10.1101/2020.03.19.20039388

Canto, F. J. A., Avila-Vales, E. J., & Garcıa-Almeida, G. E. (2020). SIRD-based models of COVID-19 in Yucatan and Mexico. researchgate.net

DADO: Dados e Análises para Decisões e Operações

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A criação do DADO — Dados e Análises para Decisões e Operações — é um passo fundamental que o RECIFE dá para criar uma cultura de construção de cenários para desenho e evolução de estratégias para a cidade, ao mesmo em que estabelece uma plataforma de dados e algoritmos para facilitar e instrumentar a tomada de decisão sobre qualquer operação de interesse da cidade.

Recife foi uma das cidades pioneiras no uso de informática no Brasil; o primeiro computador da prefeitura, na antiga Divisão de Mecanização, foi instalado em 1963 - era a gestão municipal começando a automatizar o processamento de impostos e pagamentos. Tal pioneirismo do espaço público foi fundamental para que um ecossistema como o Porto Digital tivesse a expressão que tem hoje, seis décadas depois.

Nestas seis décadas, o volume de informação disponível para a gestão municipal e a demanda para usá-lo cresceu ordens de magnitude. Por outro lado, como mostra esta pandemia, não é mais possível tratar a complexidade de eventos tão grandes e interligados com tantas facetas da sociedade e economia apenas com inteligência, intuição e experiência. Dados e suas análises, usando sistemas milhões de vezes mais sofisticados do que o primeiro computador da prefeitura, passaram a ser fundamentais para decidir o que e como fazer, em quase qualquer situação, de forma econômica e flexível.

O trabalho deste grupo, neste estágio de criação, é ajudar a criar os cenários para tomada de decisão e convivência com a pandemia de COVID-19, que pode estar conosco por muito tempo. Mas DADO é um esforço de criação de estrutura a partir da conjuntura: muitos outros problemas, inclusive de saúde pública, exigem um planejamento bem mais sofisticado do que vem sendo feito no Brasil até agora. A partir do Recife, o papel de DADO é liderar um esforço amplo, nacional, multidisciplinar e em rede, com instituições de todas as competências e de todo o mundo, de usar dados e algoritmos para criar análises e cenários que possam, paulatinamente, melhorar muito os processos de tomada de decisão no setor público e não só em tempos de crise, como agora.

Para o Núcleo de Gestão do Porto Digital é uma honra, e uma grande responsabilidade, ser parte do começo desta iniciativa, para a qual dedicamos toda a nossa energia, foco e um time de especialistas de classe mundial.

Recife, junho de 2020